Dấu bằng là nền tảng của toán học. Nó dường như phát biểu một điều hết sức cơ bản và được chấp nhận một cách không phải bàn cãi: những đối tượng này đều giống nhau, đều là một cả mà thôi. 

Nhưng càng ngày, càng có một cộng đồng lớn hơn của những nhà toán học coi dấu bằng là một sai lầm cơ bản của toán học. Họ coi nó chỉ là một lớp vỏ bọc dùng để che đậy những thứ phức tạp hơn trong quan hệ định lượng giữa các đối tượng – những thứ phức tạp mang sức mạnh để có thể giải quyết được một số lượng khổng lồ các bài toán. Họ muốn tái xây dựng toán học theo một ngôn ngữ lỏng hơn của sự tương đương.

“Chúng ta đã sáng tạo nên khái niệm về sự bằng nhau”, Jonathan Campbell của đại học Duke nói, “đáng lẽ nó đã phải là sự tương đương từ đầu thì tốt hơn”

Nhân vật nổi bật nhất trong cộng  đồng này là Jacob Lurie. Trong tháng $7$ vừa rồi, Lurie, $41$, rời khỏi biên chế giáo sư ở đại học Harvard để tới với một vị trí tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study) ở Princeton, New Jersey, nhà của nhiều trong số những nhà toán học được kính nể nhất thế giới.

Ý tưởng của Lurie mang tính cách mạng ở một mức độ hiếm thấy trong bất kì ngành nào. Thông qua những cuốn sách mà anh đã phát hành, gồm hàng ngàn trang đặc và đầy tính kĩ thuật, anh đã xây dựng nên một cách tiếp cận mới lạ một cách đáng ngạc nhiên để hiểu một số những khái niệm căn bản nhất trong toán học bằng cách đi vượt lên trên dấu bằng. “Tôi nghĩ anh ấy cảm thấy đây là cách đúng để xem xét toán học,” Michael Hopkins, một nhà toán học tại Harvard và người hướng dẫn của Lurie ở bậc sau đại học, đã nói.

Lurie xuất bản cuốn sách đầu tiền của anh, Higher Topos Theory, vào năm $2009$. Cuốn sách dày $994$ trang này được xem như là một cuốn giáo trình về cách xem xét các mảng toán học kinh điển trong ngôn ngữ của “infinity categories” (phạm trù vô hạn). Trong những năm sau đó đến nay, ý tưởng của Lurie đã được đưa vào một số lượng ngày càng rộng các ngành toán học. Nhiều nhà toán học coi nó như một thứ gì không thể thiếu cho tương lai của ngành. “Không ai quay lại một khi họ đã học infinity categories,” John Francis của đại học Northwestern đã nói.

Jacob Lurie, nhà toán học tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study, đã được trao giải thưởng đột phá trong toán học (Breakthrough Prize in Mathematics) trị giá 3 triệu $ vào năm 2014.

Nhưng sự lan tỏa của infinity categories cũng đã cho chúng ta thấy những khó khan mà một ngành khoa học đáng tôn kính như toán học phải trải qua mỗi khi nó cố gắng thu nhập một ý tưởng lớn, đặc biệt khi ý tưởng ấy thách thức đến ý nghĩa của những khái niệm quan trọng nhất của nó. “Có một mức độ bảo thủ nhất định trong cộng đồng toán học,” Clark Barwick của đại học Edinburgh nói. “Tôi chỉ không nghĩ có thể mong chờ rằng bất kì một số lượng nhà toán học nào có thể chấp nhận bất kì công cụ gì từ bất cứ đâu trong một thời gian rất ngắn nếu không cho họ được những lí do thuyết phục để nghĩ về chuyện đó.”

Dù nhiều nhà toán học đã tiếp nhận infinity categories, một số lượng tương đối ít trong họ đã thực sự đọc công trình dài và cực kì trừu tượng của Lurie một cách hoàn chỉnh. Và cũng vì vậy, một số những công trình dựa trên ý tưởng của anh ấy không được tỉ mỉ và chính xác như chuẩn mực thường thấy trong toán học.

“Tôi đã thấy có người nói, ‘Nó ở đâu đó trong công trình của Lurie,’ ” Inna Zakharevich, một nhà toán học ở đại học Cornell, đã nói. “Và tôi nói, ‘Thật à? Cậu đang trích dẫn tới ${\displaystyle 8,000}$ trang chữ.’ Đó không phải là một sự trích dẫn, đó là một sự ngụy biện.”

Các nhà toán học vẫn đang vật lộn với cả tầm quan trọng của những ý tưởng của Lurie và cả cái cách khác thường mà nó đã được đề ra. Họ vẫn đang chắt lọc và sắp xếp lại cách trình bày của infinity categories để làm nó dễ tiếp cận với nhiều nhà toán học hơn. Họ đang thực hiện, theo một nghĩa nào đó, việc dịch một văn bản giáo điều thành những luật lệ thông thường hơn. Và trong việc làm như thế, họ đang xây dựng một tương laic ho toán học được xây dựng không phải dựa trên quan hệ bằng, mà dựa trên quan hệ tương đương.

Tháp vô hạn của sự tương đương

Sự bằng nhau toán học có vẻ như là một ý tưởng gì đó khó phải bàn cãi. Hai hạt đậu cộng một hạt đậu bằng ba hạt đậu. Còn gì để nói về điều ấy nữa đâu? Nhưng những ý tưởng đơn giản nhất có thể là những thứ kém đáng tin cậy nhất.

Từ cuối thế kỉ $19$, nền tảng của toán học đã được xây dựng dựa trên những tập hợp của các phần tử đối tượng. Lí thuyết tập hợp cung cấp cho ta những luật, hay tiên đề, để xây dựng và biến đổi những tập hợp này. Một trong những tiền đề, để ví dụ, nói rằng ta có thể thêm vào một tập hợp có hai phần tử với một tập hợp có một phần tử để tạo thành một tập hợp mới có ba phần tử: ${\displaystyle 2+1=3}$.

Nói một cách chính xác, cách mà ta có thể cho thấy hai lượng đối tượng bằng nhau là ghép đôi chúng lại: ghép một hạt đậu ở bên phải dấu bằng với một hạt đậu bên trái dấu bằng. Nhận xét thấy rằng sau khi tất cả các sự ghép đôi đều đã được hoàn tất, không còn có hạt đậu nào đơn lẻ nữa.

Lí thuyết tập hợp quan sát được rằng hai tập hợp, mỗi tập hợp có ba phần tử, có thể ghép đôi vừa đủ với nhau, nhưng nó không thể dễ dàng nhận thức được những cách khác nhau mà các phần tử trong chúng có thể ghép đôi. Ta có thể ghép đôi hạt đậu đầu tiên bên phải với hạt đầu tiên bên trái, hoặc ta cũng có thể ghép đôi hạt đậu đầu tiên bên phải với hạt đậu thứ hai sang, và cứ tiếp tục như thế (có tổng cộng sáu cách ghép đôi như vậy). Khi ta nói rằng hai cộng một bằng ba và dừng lại ở đó, ta đang lờ đi những cách khác nhau mà chúng bằng nhau. “Vấn đề là, có nhiều cách để ghép đôi,” Campbell nói. “Chúng ta đã quên mất những cách ấy khi chúng ta nói về sự bằng nhau.”

Đây là lúc mà quan hệ tương đương lẻn đi vào. Trong khi bằng là một quan hệ cứng nhắc – hai vật chỉ có thể bằng hoặc không bằng nhau – tương đương có thể có nhiều dạng.

Khi ta có thể ghép đôi chính xác mỗi phần tử thuộc tập hợp này với một phần tử của tập hợp kia, đó là dạng mạnh của quan hệ tương đương. Nhưng trong một mảng của toán học gọi là lí thuyết đồng luân, hai hình dạng (hoặc không gian hình học) tương đương với nhau nếu ta có thể kéo giãn hoặc nén ép cái này thành cái kia mà không cắt hoặc làm đứt nó.

Từ một góc nhìn của lí thuyết đồng luân, một cái đĩa dẹt và một điểm duy nhất trong không gian là tương đương – ta có thể nén ép cái đĩa xuongs thành một điểm duy nhất. Tuy nhiên ta không thể ghép đôi những điểm ở trong cái đĩa với những điểm ở trong điểm. Vì hiển nhiên, có vô số điểm ở trong cái đĩa, nhưng chỉ có một điểm ở trong mỗi điểm.

Kể từ giữa thế kỉ $20$, các nhà toán học đã cố gắng thiết lập một sự thay thế cho lí thuyết tập hợp sao cho ở trong đó, phép toán tương đương sẽ có thể được áp dụng một cách tự nhiên hơn. Vào năm $1945$, các nhà toán học Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane giới thiệu một đối tượng cơ bản mới với quan hệ tương đương được cấy sẵn trong nó. Họ gọi nó là một phạm trù.

Các phạm trù có thể chứa bởi bất cứ thứ gì mà ta muốn. Chúng ta có thể có một phạm trù gồm những động vật lớp thú, phạm trù này sẽ chứa tất cả những động vật có long, máu nóng, tiết sữa của thế giới. Hoặc ta có thể tạo phạm trù của những vật thể toán học: tập hợp, không gian hình học hoặc hệ thống số.

Một phạm trù là một tập hợp với thêm một thông tin: một sự mô tả tất cả những cách mà hai đối tượng có quan hệ với nhau, gồm mô tả của tất cả những cách mà hai vật thể có thể coi là tương đương với nhau. Ta cũng có thể nghĩ về phạm trù như những vật thể hình học mà mỗi phần tử trong nó được đại diện bởi một điểm.

Để lấy ví dụ, bạn hãy tưởng tượng tới bề mặt của một hình cầu. Mỗi điểm trên bề mặt này có thể được thể hiện bởi một hình tam giác nhất định. Đường đi giữa những điểm này thể hiện mối quan hệ tương đương giữa chúng. Dưới góc nhìn của lí thuyết phạm trù, ta quên đi cái cách mà mỗi vật thể được định nghĩa một cách cụ thể và thay vào đó tập trung hơn tới việc một vật thể được đặt trong mối quan hệ như thế nào đối với những vật thể khác cùng loại với nó.

“Có nhiều thứ ta coi như là sự vật trong khi thực ra chúng là mối quan hệ giữa các đối tượng,” Zakhaverich nói. “Cụm từ ‘chồng của tôi,’ chúng ta nghĩ tới nó như là một đối tượng, nhưng ta cũng có thể nghĩ tới nó như là một mối quan hệ với tôi. Có một phần nào đó của anh ấy được định nghĩa bởi mối quan hệ của anh ấy với tôi.”

Phiên bản của Ellenberg và Mac Lane về lí thuyết phạm trù đã đủ tốt để xem xét những phiên bản mạnh của sự tương đương. Nhưng ở nửa cuối của thế kỉ $20$, nhiều nhà toán học dần bắt đầu nghiên cứu toán bằng những phiên bản yếu hơn của sự tương đương, chẳng hạn sự đồng luân. “Khi toán học trở nên tinh vi hơn, chúng ta không thể tránh khỏi đi đến việc cần những phiên bản yếu hơn của sự giống nhau,” Emily Riehl, một nhà toán học ở đại học Johns Hopkins đã nói. Ở những phiên bản yếu hơn của sự tương đương này, lượng thông tin về các cách mà hai vật được xem là có liên hệ với nhau tăng một cách đáng kể. Phiên bản phạm trù thô sơ của Eilenberg và Maclane không được thiết kế để xử lí vấn đề này.

Để thấy cách mà lượng thông tin được tăng lên, đầu tiên ta hãy gợi nhớ rằng hình cầu của chúng ta được biểu diễn bởi nhiều hình tam giác. Hai tam giác là tương đương đồng luân nếu ta có thể kéo dãn hoặc biến dạng hình này thành hình kia. Hai điểm trên một bề mặt là tương đương đồng luân nếu có một đường đi nối giữa chúng. Bằng việc nghiên cứu các đường đi đồng luân giữa các điểm trên một bề mặt, chúng ta thực chết đang nghiên cứu những cách khác nhau mà các tam giác biểu diễn bởi các điểm ấy liên hệ với nhau.

Tuy nhiên, chỉ nói rằng hai điểm được nối với nhau bằng các đường đi như nhau là chưa đủ. Ta cần xem xét sự tương đương giữa những đường đi đó nữa. Tức là ngoài việc xét xem hai điểm có tương đương nhau hay không, ta giờ đây cần đặt câu hỏi hai đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một cặp điểm có tương đương với nhau không – có đường đi nào nối giữa những đường đi đó không. Đường đi nối những đường đi này chính là hình có dạng đĩa được giới hạn bởi hai đường đi ban đầu. 

Ta có thể tiếp tục cứ như thế, hai đĩa được coi là tương đương nếu có một đường đi giữa chúng – và đường đi đó sẽ có hình dạng là một vật thể ba chiều. Những vật thể ba chiều này tiếp tục có thể được nối bởi những đường đi bốn chiều (đường đi nối giữa hai vật thể luôn có chiều cao hơn một so với chính những vật thể).

Cuối cùng, ta sẽ tạo được một tháp vô hạn những quan hệ tương đương giữa những quan hệ tương đương. Bằng cách xem xét toàn bộ cấu trúc này, ta tạo ra được một cái nhìn hoàn chỉnh về hai vật thể bất kì mà ban đầu ta chọn biểu diễn bằng điểm trên mặt cầu.

“Nó chỉ là một hình cầu thôi, nhưng thật ra thì, để hiểu được hình dạng của hình cầu, theo một nghĩa nào đó ta cần phải xét ra xa đến tận vô cùng,” David Ben-Zvi của đại học Texas, Austin đã nói.

Trong những thập kỉ cuối của thế kỉ 2$0$, nhiều nhà toán học nghiên cứu một lí thuyết về “infinity categories” – một thứ gì đó có thể theo dõi được tháp vô hạn các sự tương đương giữa những sự tương đương. Một vài trong số họ đã đạt được những bước tiến đáng kể. Chỉ một người trong số đó đến được đích cuối cùng.

Xây dựng lại Toán học

Bài báo đầu tiên của Lurie về infinity category không cho thấy nhiều khả quan. Vào ngày $5$ tháng $6$ năm $2003$, năm Lurie $25$ tuổi, anh đăng một bài viết $60$ trang tên “On Infinity Topoi” (về các infinity topo) lên trang web tiền ấn bản arxiv.org. Ở đấy, anh bắt đầu phác thảo những quy tắc mà các nhà toán học có thể sử dụng trong infinity categories.

Bài báo đầu tiên này không nhận được sự công nhận rộng rãi. Ít lâu sau khi đọc bài báo, Peter May, một nhà toán học ở đại học Chicago, đã gửi email cho người hướng dẫn của Lurie, Michael Hopkins, để nói rằng bài viết của Lurie có một số ý tưởng thú vị, nhưng nó có vẻ sơ sài và cần thêm tính chính xác.

“Tôi trình bày sự e dè của chúng tôi cho Mike, và Mike truyền đạt lại thông điệp đó cho Jacon,” May nói.

“Tôi không thể tưởng tượng viết được cuốn Higher Topos Theory, điều mà anh ta thực hiện trong hai hay ba năm, trong cả một đời người.”

Charles Rezk

 

Không rõ rằng Lurie đã coi email của May như là một thách thức hay anh đã có bước đi tiếp theo sẵn trong đầu. (Lurie từ chối nhiều lời thỉnh cầu phỏng vấn về câu chuyện này.) Nhưng có một điều rõ rang rằng sau khi nhận được sự phê bình, Lurie lao vào một quãng thời gian dài nhiều năm với năng suất cao mà giờ đây đã trở thành huyền thoại.

 

“Tôi không sống ở trong bộ não của Jacob, tôi không thể nói chính xác anh ta đã nghĩ gì trong quãng thời gian đó,” May nói. “Nhưng chắc chắn rằng đã có một sự khác biệt lớn giữa bản phác thảo chúng tôi đã phản hồi về và phiên bản cuối cùng, thứ ở một chiều không gian toán học cao hơn hẳn.”

 

Năm $2006$, Lurie công bố draft của cuốn Higher Topos Theory trên arxiv.org. Trong công trình khổng lồ này, anh ta tạo ra hệ thống công cụ cần thiết để thay thế lí thuyết tập hợp với một nền tảng toán học mới, một nền tảng dựa trên infinity categories. “Anh ấy đã tạo ra hàng ngàn trang giấy của thứ nền tảng công cụ mà giờ tất cả chúng ta đều đang dùng này,” Charles Rezk, một nhà toán học ở đại học Illinois, Urbana-Champaign, người hoàn thành những công trình sớm nhất trong lĩnh vực infinity categories, nói. “Tôi không thể tưởng tượng viết được cuốn Higher Topos Theory, điều mà anh ta thực hiện trong hai hay ba năm, trong cả một đời người.”

 

Rồi đến năm $2011$, Lurie tiếp tục công bố một công trình còn dài hơn. Với công trình này, anh ấy phát minh lại đại số.

 

Đại số cung cấp cho ta một bộ quy tắc chính thống đẹp để thao tác với các phương trình. Các nhà toán học rất thường xuyên dùng những quy tắc này để chứng minh những định lý mới. Nhưng đại số thực hiện chức năng của nó qua tiêu chuẩn của dấu bằng. Nếu ta loại bỏ tiêu chuẩn đó và thay nó bằng một thứ gì đó lỏng hơn, một số phép biến đổi trở nên khó hơn rất nhiều.

 

Lấy ví dụ một trong những quy tắc đầu tiên của đại số mà trẻ em học ở trường: tính kết hợp, nói rằng tổng hoặc tích của ba hay bốn số không phụ thuộc vào cách chúng được ghép cặp với nhau: ${\displaystyle 2x(3x4)=(2x3)x4}$.

 

Chứng minh tính kết hợp đúng với một dãy bất kì gồm ba hay nhiều hơn phần tử là dễ khi chúng ta làm việc với quan hệ bằng. Nó là phức tạp thậm chí khi ta làm việc với những phiên bản mạnh của quan hệ tương đương. Khi ta đưa nó về những phiên bản yếu của sự tương đương, với tháp vô hạn đường đi giữa các đường đi của chúng, thậm chí một quy tắc đơn giản như quy tắc giao hoán cũng biến thành một mớ mịt mù.

 

 

‘Điều này phức tạp hóa mọi thứ một cách đáng kể, theo một góc nhìn nào đó, ta dường như không thể làm việc với phiên bản mới của toán học này mà ta đang hình dung ra,” David Ayala, một nhà toán học ở đại học bang Montana đã nói.

 

Trong Higher Algebra, phiên bản mới nhất của cuốn sách dài tới ${\displaystyle 1,553}$ trang giấy, Lurie phát triển một phiên bản của quy tắc giao hoán cho infinity cantegories – cùng với nhiều những định lý đại số khác, chúng định ra một nền tảng cho toán học của sự tương đương.

 

Hợp tất cả lại, hai công trình của anh đã trở thành những cơn địa chấn, với mức độ ảnh hưởng đủ để bắt đầu cách mạng khoa học. “Tầm vóc của nó lớn khủng khiếp,” Riehl nói. “Nó là một thành tích ngang tầm với cuộc cách mạng trong hình học đại số của Grothendieck.”

 

Tuy thế, các cuộc cách mạng cần thời gian, và như nhiều nhà toán học đã quan sát được sau khi những cuốn sách của Lurie được công bố, những năm tiếp sau đó có thể trở nên hỗn độn.

 

Tiêu hóa con bò

 

Các nhà toán học nổi tiếng là những người suy nghĩ sáng suốt: một chứng minh là đúng hoặc sai, một ý tưởng là hợp lý hoặc không. Nhưng họ cũng là con người, và họ phản ứng với những ý tưởng mới bằng cái cách mà con người thường làm: với ý niệm chủ quan, xúc cảm, và một cảm giác về rủi ro cho bản thân.

 

“Tôi nghĩ nhiều bài viết trong toán học được viết trong ý tưởng rằng các nhà toán học đang tìm kiếm những sự thật trong sáng và rõ ràng,” Campbell nói. “Đó không phải thực sự những gì diễn ra. Họ là những con người với khẩu vị riêng và vùng mà họ cảm thấy thoải mái riêng, và họ sẽ gạt bỏ những thứ họ không thích vì lí do về mặt thẩm mĩ hay lí do cá nhân.”

 

“Nó kiểu giống như một con trăn khổng lồ đang muốn tiêu hóa hết một con bò ấy. Có một khối lượng lớn này đang trôi qua cả cộng đồng.”

Jonathan Campbell

 

Ở phương diện đó, công trình của Lurie đặt lên một thách thức lớn. Về cơ bản, nó là một sự khiêu khích: Đây là một cách tốt hơn để làm toán. Thông điệp này được đặc biệt chĩa thẳng tới những nhà toán học nào đã dành cả sự nghiệp của mình phát triển những phương pháp mà công trình của Lurie biến trở thành lạc hậu.

 

“Có một sự căng thẳng nhất định ở đây khi người ta thường không vui vẻ cho mấy khi thấy thế hệ tiếp theo viết lại công trình của họ,” Francis nói. “Đây là một đặc điểm có ảnh hưởng tới lí thuyết infinity categories, đó là nhiều những công trình trước đó sẽ phải được viết lại.”

 

Công trình của Lurie khó nuốt theo những cách khác. Khối lượng lớn của nó dẫn đến việc các nhà toàn học sẽ cần đầu tư nhiều năm để đọc sách của anh. Đó là một yêu cầu gần như bất khả thi cho những nhà toán học bận rộn ở chặng giữa sự nghiệp của họ, và nó là một thứ mang rủi ro cao đối với sinh viên sau đại học, những người chỉ có một vài năm để đúc kết được những kết quả mà đem lại được cho họ việc làm.

 

Công trình của Lurie cũng mang tính trừu tượng cao, kể cả khi so sánh với bản chất trừu tượng cao của tất cả mọi thứ khác trong toán học cao cấp. Xét theo khẩu vị, nó không phải dành cho tất cả mọi người. “Nhiều người đã coi công trình của Lurie như điều trừu tượng vô nghĩa, và nhiều người hoàn toàn thích thú với nó và làm quen với nó,” Campbell nói. “Và rồi có những phản ứng nửa mùa, bao gồm cả phản ứng hoàn toàn không hiểu gì về nó cả”

 

Cộng đồng khoa học đầy những khi tiếp thu ý tưởng mới, nhưng thường bằng một cách chậm chạp, và theo một hướng cả cộng đồng thực hiện bước tiến cùng nhau. Khi những ý tưởng mới được hình thành, chúng đặt ra một vấn đề cho bộ máy trí thức của cộng đồng. Nhiều thứ được trình bày mới cùng lúc, nó kiểu giống như một con trăn khổng lồ đang muốn tiêu hóa hết một con bò ấy,” Campbell nói. “Có một khối lượng lớn này đang trôi qua cả cộng đồng.”

 

Emily Riehl, một nhà toán học tại đại học Johns Hopkins, đang giúp đỡ để định hướng sự phát triển của lý thuyết phạm trù bậc cao.

 

Nếu bạn là một nhà toán học và xem cách tiếp cận của Lurie là một cách tốt hơn để làm toán, một con đường đơn độc nằm ở phía trước bạn. Ít người đã đọc công trình của Lurie, và không có cuốn giáo trình nào chắt lọc nó, và không seminar nào bạn có thể tham dự để có bước đà. “Cái cách mà bạn học về thứ này không gì khác là phải ngồi xuống và tự thân làm lấy,” Peter Haine, một sinh viên sau đại học của MIT, người đã dành một năm để đọc công trình của Lurie, nói. “Tôi nghĩ đó là cái khó. Không những bạn phải ngồi xuống và tự thân làm lấy – mà bạn phải ngồi xuống và tự làm lấy bằng cách đọc $800$ trang sách của Higher Topos Theory.”

 

Như nhiều phát minh mới, Higher Topos Theory yêu cầu các nhà toán học tương tác nhiều với bộ máy đã xây dựng nên nó. Nó giống như việc yêu cầu người muốn có bằng lái xe trước tiên phải học cách tạo ra động cơ xe đã. “Nếu có một phiên bản thân thiện hơn với người đọc, nó sẽ ngay lập tức trở nên dễ tiếp cận hơn cho một cộng đồng toán học rộng lớn hơn.” Dennis Gaitsgory, một nhà toán học ở Harvard, người đã từng cộng tác với Lurie, nói.

 

Khi mọi người bắt đầu đọc công trình của Lurie và dùng infinity categories cho chính việc nghiên cứu của họ, những vấn đề khác nảy lên. Nhiều nhà toán học sẽ viết bài của họ dùng infinity categories. Những người kiểm duyệt ở các tờ báo sẽ nhận chúng và hỏi: Đây là cái gì?

 

“Bạn gặp phải tình huống khi mà [các bài viết] hoặc được gửi lại từ các tờ báo với sự phê bình sai sót đến mức nặng nề và thể hiện một sự hiểu lầm sâu sắc, hoặc chúng mất vài năm để được công bố,” Barwick nói. “Nó có thể khiến cuộc sống của nhiều người trở nên phiền phức vì một bài viết không được công bố và nằm mãi trên website của bạn nhiều năm liền nhìn hơi hài hước.”

 

Nhưng vấn đề lớn nhất không phải là những bài viết không được công bố, mà là bài viết dùng infinity categories và được công bố - nhưng có lỗi sai.

 

Toán học không phải là một cuốn kinh thánh mà chỉ các tu sĩ mới có thể đọc được. Nó cần những tờ rơi cũng như những tàng sách, nó cần những công trình diễn dịch bên cạnh sự phát hiện đầu tiên.

 

Những cuốn sách của Lurie là những văn bản duy nhất và tối cao về infinity categories. Chúng hoàn toàn chuẩn xác, nhưng khó để nắm bắt một cách hoàn toàn. Chúng đặc biệt không phù hợp để dùng làm một cuốn sách hướng dẫn – khó để tìm được những định lý cụ thể, hoặc để kiểm tra một ứng dụng cụ thể của infinity categories mà ta có thể gặp phải trong bài viết của ai đó khác có đúng hay không.

 

“Hầu hết những người làm việc trong ngành chưa đọc công trình của Lurie một cách có hệ thống, “ André Joyal, một nhà toán học ở đại học Quebec ở Montreal, công trình trước đây của ông là một thành phần quan trọng trong sách của Lurie, nói. “Nó tốn nhiều thời gian và công sức, vậy nên chúng tôi kiểu như thừa nhận những thứ trong sách của anh ta là chính xác vì hầu hết những lúc chúng tôi kiểm tra thứ gì đó thì nó đều chính xác. Thật ra là tất cả mọi lúc.”

 

Sự khó tiếp cận của sách của Lurie đã dẫn tới sự sai sót trong một số những nghiên cứu dựa trên nó sau này. Những cuốn sách của Lurie khó đọc, khó để viện dẫn, và khó có thể được dùng để kiểm tra công trình của người khác.

 

“Có thể cảm nhận được một sự bất cẩn trong các bài viết xung quanh chủ đề infinity categories.” Zakharevich nói.

 

Dù tính chuẩn xác của nó, Toán học không phải là một cuốn kinh thánh mà chỉ các tu sĩ mới có thể đọc được. Nó cần những tờ rơi cũng như những tàng sách, nó cần những công trình diễn dịch bên cạnh sự phát hiện đầu tiên. Và ở thời điểm hiện tại, lí thuyết infinity categories vẫn đang tồn tại chủ yếu dưới dạng vài cuốn sách lớn trên kệ sách.

 

“Bạn có thể lấy thái độ rặng ‘Jacob sẽ nói chúng ta phải làm gì, mọi chuyện đều đang ổn,’” Rezk nói. “Hoặc bạn có thể có thái độ rằng ‘Chúng ta chưa biết cách thể hiện vấn đề của chúng ta một cách đủ tốt để người khác có thể tiếp nhận và áp dụng nó.’”

 

Nhưng một số nhà toán học đã thực sự chấp nhận thử thách biến infinity categories thành một kĩ thuật mà nhiều người hơn trong ngành có thể sử dụng.

 

Một lí thuyết thân thiện với người sử dụng

 

Để dịch infinity categories thành những thứ có thể thực sự làm toán, Lurie phải chứng minh các định lý về chúng. Và để làm điều đó, anh phải chọn một môi trường nào đó để tạo ra những chứng minh này, giống như việc ai đó nghiên cứu hình học phải chọn hệ tọa độ để làm việc trong. Các nhà toán học gọi đây là chọn một mô hình.

 

Lurie xây dựng infinity categories trong mô hình quasi-categories. Các nhà toán học trước đây đã từng xây dựng infinity categories ở trong những mô hình khác. Tuy những công trình đó kém đầy đủ hơn của Lurie nhiều, chúng dễ được sử dụng hơn trong một số trường hợp. “Jacob chọn một mô hình và kiểm tra rằng mọi thứ đều đúng trong mô hình đó, nhưng thường đó không phải là mô hình dễ làm việc với nhất,” Zakharevich nói.

 

Lí thuyết phạm trù kiểu như đang tự tạo ra chính nó.